Katamino Family, solved

An exhaustive search of Gigamic’s Katamino Family (in French, Gagne ton papa !): every starting set, every order of added pentominoes, every solution counted.

Gagne ton papa !, résolu

Une recherche exhaustive sur Gagne ton papa ! de Gigamic (Katamino Family en anglais) : toutes les combinaisons de départ, tous les ordres d’ajout des pentaminos, toutes les solutions comptées.

The box, as read from the tray: 7 pentominoes (2–8), 5 tetrominoes (A–E), 2 trominoes (X, Y), two dominoes W and two monominoes V. The doubles let two players play at once; a single starting set uses each piece at most once.

La boîte, telle que lue sur le plateau : 7 pentaminos (2 à 8), 5 tétraminos (A à E), 2 triominos (X, Y), deux dominos W et deux monominos V. Les doublons permettent de jouer à deux en même temps ; une combinaison de départ utilise chaque pièce au plus une fois.

PlayJouerDraw a random starting set of the difficulty you want, or a pair of sets two players can use at the same time.Tirez une combinaison de départ au hasard selon la difficulté voulue, ou deux combinaisons jouables en même temps par deux joueurs. Safe setsDéparts sûrsAll 903 starting sets that stay solvable whatever pentominoes are added, each shown as one solution.Les 903 combinaisons qui restent solubles quels que soient les pentaminos ajoutés, chacune montrée par une solution. ExplorerExplorateurEvery solvable starting set, with the full ladder of additions and a solution for each step.Toutes les combinaisons solubles, avec l’échelle complète des ajouts et une solution pour chaque étape. LocksBlocagesWhich starting pieces and which pentominoes lead to dead ends.Quelles pièces de départ et quels pentaminos mènent à une impasse. DifficultyDifficultéHow each added pentomino changes the number of solutions.Comment chaque pentamino ajouté change le nombre de solutions. Full setJeu completWhat happens if the five missing pentominoes are 3D-printed and added.Ce qui se passe si l’on imprime en 3D et ajoute les cinq pentaminos manquants. NamingNomsThe logic behind the numbers and letters printed on the pieces.La logique des chiffres et des lettres imprimés sur les pièces. MethodMéthodeRules, assumptions, the solver and how to reproduce everything.Règles, hypothèses, le solveur et comment tout reproduire.

Draw a starting set

Pick a difficulty and the site deals a starting set from those that never lock: whichever pentominoes are added afterwards, in any order, the rectangle stays solvable.

Difficulty is the number of solutions of the starting rectangle, split into four bands of about equal size within each rectangle size (sets with the same count always share a band): Easy is the quarter with the most solutions, Expert the quarter with the fewest.

Tirer une combinaison de départ

Choisissez une difficulté et le site distribue une combinaison parmi celles qui ne se bloquent jamais : quels que soient les pentaminos ajoutés ensuite, dans n’importe quel ordre, le rectangle reste soluble.

La difficulté se mesure au nombre de solutions du rectangle de départ, réparti en quatre tranches de taille à peu près égale pour chaque taille de rectangle (les combinaisons au même nombre de solutions sont toujours dans la même tranche) : Facile est le quart qui a le plus de solutions, Expert le quart qui en a le moins.

ModeMode

PiecesPièces

StartDépart

Explorer

Explorateur

Every starting set that fills its rectangle (box as sold). Open one to see each possible addition, its number of solutions, and one solution for any step.

Toutes les combinaisons de départ qui remplissent leur rectangle (boîte d’origine). Ouvrez-en une pour voir chaque ajout possible, son nombre de solutions et une solution pour chaque étape.

ContainsContient SortTri

Groups that look right but can’t be solved

Des combinaisons qui semblent bonnes mais sans solution

903 starting sets that never lock

Every starting set below fills its rectangle, and stays solvable whichever unused pentominoes are added, in any order, through three additions (3×5 up to 6×5, 4×5 up to 7×5).

Each set is shown as one of its solutions, so the picture is both the piece list and a worked answer. Sets are sorted by their number of solutions, fewest first, so the top of the list is the hardest place to start. Solutions are counted once per shape: turning or mirroring the whole rectangle doesn’t make a new one.

88 start in 3×5 with 5 pieces, 445 in 4×5 with 5 pieces, and 370 in 4×5 with 6 pieces. No set uses the same piece twice.

903 combinaisons de départ qui ne se bloquent jamais

Chaque combinaison ci-dessous remplit son rectangle et reste soluble quels que soient les pentaminos ajoutés ensuite, dans n’importe quel ordre, sur trois ajouts (de 3×5 à 6×5, de 4×5 à 7×5).

Chaque combinaison est représentée par l’une de ses solutions : l’image donne à la fois la liste des pièces et une réponse. Elles sont triées par nombre de solutions, du plus petit au plus grand : le haut de la liste correspond aux départs les plus difficiles. Les solutions sont comptées une fois par forme : tourner ou retourner tout le rectangle ne crée pas de nouvelle solution.

88 commencent en 3×5 avec 5 pièces, 445 en 4×5 avec 5 pièces et 370 en 4×5 avec 6 pièces. Aucune combinaison n’utilise deux fois la même pièce.

#1 1 solution4×5 · 2 3 A X Y

#2 1 solution4×5 · 2 5 7 Y W

#3 1 solution4×5 · 2 7 8 D V

#4 1 solution4×5 · 2 7 8 Y W

#5 1 solution4×5 · 2 7 A E W

#6 1 solution4×5 · 2 7 E X Y

#7 1 solution4×5 · 2 8 E X Y

#8 1 solution4×5 · 3 4 5 D V

#9 1 solution4×5 · 3 4 5 E V

#10 1 solution4×5 · 3 4 5 Y W

#11 1 solution4×5 · 3 4 A C W

#12 1 solution4×5 · 3 4 A E W

#13 1 solution4×5 · 3 4 B X Y

#14 1 solution4×5 · 3 5 8 Y W

#15 1 solution4×5 · 3 5 B C W

#16 1 solution4×5 · 3 5 B E W

#17 1 solution4×5 · 3 5 C D W

#18 1 solution4×5 · 3 5 D X Y

#19 1 solution4×5 · 3 7 8 B V

#20 1 solution4×5 · 3 7 8 X W

#21 1 solution4×5 · 3 7 C D W

#22 1 solution4×5 · 3 8 A D W

#23 1 solution4×5 · 3 8 A E W

#24 1 solution4×5 · 3 A C D Y

#25 1 solution4×5 · 3 C D E X

#26 1 solution4×5 · 4 5 7 B V

#27 1 solution4×5 · 4 5 7 X W

#28 1 solution4×5 · 4 5 7 Y W

#29 1 solution4×5 · 4 5 8 E V

#30 1 solution4×5 · 4 5 B D W

#31 1 solution4×5 · 4 6 7 C V

#32 1 solution4×5 · 4 6 7 D V

#33 1 solution4×5 · 4 6 7 E V

#34 1 solution4×5 · 4 6 8 B V

#35 1 solution4×5 · 4 6 8 X W

#36 1 solution4×5 · 4 6 C D W

#37 1 solution4×5 · 4 7 8 B V

#38 1 solution4×5 · 4 7 A D W

#39 1 solution4×5 · 4 7 D E W

#40 1 solution4×5 · 4 8 B D W

#41 1 solution4×5 · 4 B C E X

#42 1 solution4×5 · 4 B D E Y

#43 1 solution4×5 · 5 7 C D W

#44 1 solution4×5 · 5 8 B C W

#45 1 solution4×5 · 5 8 E X Y

#46 1 solution4×5 · 5 A B C Y

#47 1 solution4×5 · 5 A B D Y

#48 1 solution4×5 · 5 B C E X

#49 1 solution4×5 · 5 B D E Y

#50 1 solution4×5 · 6 8 A C W

#51 1 solution4×5 · 6 A C E Y

#52 1 solution4×5 · 7 A B E Y

#53 1 solution4×5 · 7 B C E X

#54 1 solution4×5 · 7 B D E Y

#55 1 solution4×5 · 7 C D E X

#56 1 solution4×5 · 8 B C E X

#57 1 solution4×5 · 8 B D E Y

#58 2 solutions3×5 · 4 C Y W V

#59 2 solutions3×5 · 4 D X W V

#60 2 solutions3×5 · 4 D Y W V

#61 2 solutions4×5 · 2 3 4 E V

#62 2 solutions4×5 · 2 3 A E W

#63 2 solutions4×5 · 2 4 8 X W

#64 2 solutions4×5 · 2 4 C X Y

#65 2 solutions4×5 · 2 4 D E W

#66 2 solutions4×5 · 2 5 7 D V

#67 2 solutions4×5 · 2 5 8 E V

#68 2 solutions4×5 · 2 7 8 B V

#69 2 solutions4×5 · 2 8 B C W

#70 2 solutions4×5 · 2 C D E X

#71 2 solutions4×5 · 3 4 5 C V

#72 2 solutions4×5 · 3 4 7 C V

#73 2 solutions4×5 · 3 4 7 D V

#74 2 solutions4×5 · 3 4 8 B V

#75 2 solutions4×5 · 3 4 A B W

#76 2 solutions4×5 · 3 4 B E W

#77 2 solutions4×5 · 3 4 C E W

#78 2 solutions4×5 · 3 5 7 Y W

#79 2 solutions4×5 · 3 5 8 E V

#80 2 solutions4×5 · 3 7 8 Y W

#81 2 solutions4×5 · 3 7 C X Y

#82 2 solutions4×5 · 3 B C E Y

#83 2 solutions4×5 · 4 5 6 A V

#84 2 solutions4×5 · 4 5 8 Y W

#85 2 solutions4×5 · 4 5 A C W

#86 2 solutions4×5 · 4 5 B E W

#87 2 solutions4×5 · 4 5 E X Y

#88 2 solutions4×5 · 4 6 8 E V

#89 2 solutions4×5 · 4 6 A X Y

#90 2 solutions4×5 · 4 6 C E W

#91 2 solutions4×5 · 4 7 A B W

#92 2 solutions4×5 · 4 7 D X Y

#93 2 solutions4×5 · 4 8 B E W

#94 2 solutions4×5 · 4 A B E X

#95 2 solutions4×5 · 4 B D E X

#96 2 solutions4×5 · 4 C D E W V

#97 2 solutions4×5 · 5 6 7 X W

#98 2 solutions4×5 · 5 6 A X Y

#99 2 solutions4×5 · 5 6 D E W

#100 2 solutions4×5 · 5 7 8 E V

#101 2 solutions4×5 · 5 7 8 Y W

#102 2 solutions4×5 · 5 7 B E W

#103 2 solutions4×5 · 5 A C D X

#104 2 solutions4×5 · 6 7 8 A V

#105 2 solutions4×5 · 6 7 8 X W

#106 2 solutions4×5 · 6 7 D E W

#107 2 solutions4×5 · 6 8 C E W

#108 2 solutions4×5 · 6 8 C X Y

#109 2 solutions4×5 · 6 8 D X Y

#110 2 solutions4×5 · 7 A B C X

#111 2 solutions4×5 · 8 A B D Y

#112 3 solutions3×5 · 4 C X W V

#113 3 solutions3×5 · 4 E X W V

#114 3 solutions3×5 · A D E W V

#115 3 solutions4×5 · 2 3 4 C V

#116 3 solutions4×5 · 2 3 5 C V

#117 3 solutions4×5 · 2 3 5 D V

#118 3 solutions4×5 · 2 3 8 Y W

#119 3 solutions4×5 · 2 3 A C W

#120 3 solutions4×5 · 2 4 7 D V

#121 3 solutions4×5 · 2 4 7 Y W

#122 3 solutions4×5 · 2 4 B C W

#123 3 solutions4×5 · 2 4 E X Y

#124 3 solutions4×5 · 2 5 A C W

#125 3 solutions4×5 · 2 6 8 D V

#126 3 solutions4×5 · 2 7 B D W

#127 3 solutions4×5 · 3 4 5 X W

#128 3 solutions4×5 · 3 4 6 E V

#129 3 solutions4×5 · 3 4 7 E V

#130 3 solutions4×5 · 3 4 7 Y W

#131 3 solutions4×5 · 3 4 C X Y

#132 3 solutions4×5 · 3 5 7 X W

#133 3 solutions4×5 · 3 5 8 B V

#134 3 solutions4×5 · 3 6 D E W

#135 3 solutions4×5 · 3 7 A E W

#136 3 solutions4×5 · 3 7 D E W

#137 3 solutions4×5 · 3 7 E X Y

#138 3 solutions4×5 · 3 8 B C W

#139 3 solutions4×5 · 3 8 C E W

#140 3 solutions4×5 · 3 8 E X Y

#141 3 solutions4×5 · 4 5 6 D V

#142 3 solutions4×5 · 4 5 6 E V

#143 3 solutions4×5 · 4 5 8 B V

#144 3 solutions4×5 · 4 5 D X Y

#145 3 solutions4×5 · 4 7 B D W

#146 3 solutions4×5 · 4 7 B X Y

#147 3 solutions4×5 · 4 A D X Y V

#148 3 solutions4×5 · 5 6 7 E V

#149 3 solutions4×5 · 5 6 A D W

#150 3 solutions4×5 · 5 7 8 X W

#151 3 solutions4×5 · 6 7 8 Y W

#152 3 solutions4×5 · 6 7 C D W

#153 3 solutions4×5 · 6 8 B C W

#154 3 solutions4×5 · 6 8 B D W

#155 3 solutions4×5 · 6 A C D Y

#156 3 solutions4×5 · 6 C D E Y

#157 3 solutions4×5 · 7 8 B X Y

#158 3 solutions4×5 · 7 B C D Y

#159 3 solutions4×5 · 8 C D E W V

#160 4 solutions3×5 · 3 D Y W V

#161 4 solutions3×5 · 7 A X W V

#162 4 solutions3×5 · 8 A X W V

#163 4 solutions3×5 · 8 C Y W V

#164 4 solutions3×5 · 8 D Y W V

#165 4 solutions3×5 · 8 E X W V

#166 4 solutions3×5 · A C E W V

#167 4 solutions4×5 · 2 3 4 Y W

#168 4 solutions4×5 · 2 3 8 C V

#169 4 solutions4×5 · 2 3 C D W

#170 4 solutions4×5 · 2 4 7 E V

#171 4 solutions4×5 · 2 4 8 B V

#172 4 solutions4×5 · 2 4 8 Y W

#173 4 solutions4×5 · 2 5 8 D V

#174 4 solutions4×5 · 2 5 C D W

#175 4 solutions4×5 · 2 5 D X Y

#176 4 solutions4×5 · 2 6 8 C V

#177 4 solutions4×5 · 2 6 D E W

#178 4 solutions4×5 · 2 8 B X Y

#179 4 solutions4×5 · 2 B D E Y

#180 4 solutions4×5 · 3 4 5 B V

#181 4 solutions4×5 · 3 4 B D W

#182 4 solutions4×5 · 3 5 6 C V

#183 4 solutions4×5 · 3 5 6 D V

#184 4 solutions4×5 · 3 5 8 X W

#185 4 solutions4×5 · 3 6 8 B V

#186 4 solutions4×5 · 3 6 C E W

#187 4 solutions4×5 · 3 8 C X Y

#188 4 solutions4×5 · 4 5 6 C V

#189 4 solutions4×5 · 4 5 8 A V

#190 4 solutions4×5 · 4 5 B X Y

#191 4 solutions4×5 · 4 6 8 Y W

#192 4 solutions4×5 · 4 6 A E W

#193 4 solutions4×5 · 4 6 C X Y

#194 4 solutions4×5 · 4 7 B E W

#195 4 solutions4×5 · 4 8 C X W V

#196 4 solutions4×5 · 4 8 C Y W V

#197 4 solutions4×5 · 4 8 D X W V

#198 4 solutions4×5 · 4 A D E W V

#199 4 solutions4×5 · 5 6 8 A V

#200 4 solutions4×5 · 5 6 A C W

#201 4 solutions4×5 · 5 6 C X Y

#202 4 solutions4×5 · 5 7 8 B V

#203 4 solutions4×5 · 5 7 A B W

#204 4 solutions4×5 · 5 7 B X Y

#205 4 solutions4×5 · 5 A B C X

#206 4 solutions4×5 · 5 A B E Y

#207 4 solutions4×5 · 6 7 A E W

#208 4 solutions4×5 · 6 8 E X Y

#209 4 solutions4×5 · 6 A C D X

#210 4 solutions4×5 · 6 A C E X

#211 4 solutions4×5 · 7 8 D X W V

#212 4 solutions4×5 · 7 8 E X W V

#213 4 solutions4×5 · 8 C D X Y V

#214 4 solutions4×5 · A C D E Y V

#215 5 solutions3×5 · 4 E Y W V

#216 5 solutions3×5 · 5 A Y W V

#217 5 solutions3×5 · 8 C X W V

#218 5 solutions3×5 · 8 E Y W V

#219 5 solutions3×5 · A C D W V

#220 5 solutions3×5 · A D X Y V

#221 5 solutions3×5 · D E X Y V

#222 5 solutions4×5 · 2 3 4 X W

#223 5 solutions4×5 · 2 3 5 Y W

#224 5 solutions4×5 · 2 3 8 B V

#225 5 solutions4×5 · 2 4 5 E V

#226 5 solutions4×5 · 2 4 A E W

#227 5 solutions4×5 · 2 5 6 D V

#228 5 solutions4×5 · 2 5 8 A V

#229 5 solutions4×5 · 2 5 8 B V

#230 5 solutions4×5 · 2 7 C D W

#231 5 solutions4×5 · 3 4 7 B V

#232 5 solutions4×5 · 3 4 7 X W

#233 5 solutions4×5 · 3 5 8 A V

#234 5 solutions4×5 · 3 5 A C W

#235 5 solutions4×5 · 3 5 A D W

#236 5 solutions4×5 · 3 5 A E W

#237 5 solutions4×5 · 3 5 B X Y

#238 5 solutions4×5 · 3 7 A C W

#239 5 solutions4×5 · 3 8 A B W

#240 5 solutions4×5 · 3 8 A C W

#241 5 solutions4×5 · 3 A B E X

#242 5 solutions4×5 · 3 B C E X

#243 5 solutions4×5 · 3 B D E X

#244 5 solutions4×5 · 4 5 8 X W

#245 5 solutions4×5 · 4 5 A B W

#246 5 solutions4×5 · 4 6 E X Y

#247 5 solutions4×5 · 5 6 8 E V

#248 5 solutions4×5 · 5 A B D X

#249 5 solutions4×5 · 6 7 8 B V

#250 5 solutions4×5 · 6 7 C E W

#251 5 solutions4×5 · 6 7 D X Y

#252 5 solutions4×5 · 6 7 E X Y

#253 5 solutions4×5 · 6 8 A E W

#254 5 solutions4×5 · 6 8 A X Y

#255 5 solutions4×5 · 7 8 A B W

#256 5 solutions4×5 · 7 8 C X W V

#257 5 solutions4×5 · 7 A B D X

#258 5 solutions4×5 · 7 A C D X

#259 5 solutions4×5 · 8 A C D W V

#260 5 solutions4×5 · 8 A C X Y V

#261 6 solutions3×5 · 3 A Y W V

#262 6 solutions3×5 · 3 C Y W V

#263 6 solutions3×5 · 4 A Y W V

#264 6 solutions3×5 · 5 A X W V

#265 6 solutions3×5 · 7 A Y W V

#266 6 solutions3×5 · 8 D X W V

#267 6 solutions3×5 · A C X Y V

#268 6 solutions3×5 · C E X Y V

#269 6 solutions4×5 · 2 3 4 B V

#270 6 solutions4×5 · 2 3 5 E V

#271 6 solutions4×5 · 2 3 C E W

#272 6 solutions4×5 · 2 3 D E W

#273 6 solutions4×5 · 2 4 5 X W

#274 6 solutions4×5 · 2 4 6 D V

#275 6 solutions4×5 · 2 5 7 X W

#276 6 solutions4×5 · 2 5 A D W

#277 6 solutions4×5 · 2 5 E X Y

#278 6 solutions4×5 · 2 6 8 A V

#279 6 solutions4×5 · 2 7 C E W

#280 6 solutions4×5 · 2 8 A B W

#281 6 solutions4×5 · 2 8 A D W

#282 6 solutions4×5 · 2 8 B D W

#283 6 solutions4×5 · 2 A C E X

#284 6 solutions4×5 · 2 A D E Y

#285 6 solutions4×5 · 2 B C E X

#286 6 solutions4×5 · 3 4 6 Y W

#287 6 solutions4×5 · 3 4 B C W

#288 6 solutions4×5 · 3 5 6 E V

#289 6 solutions4×5 · 3 5 7 A V

#290 6 solutions4×5 · 3 5 B D W

#291 6 solutions4×5 · 3 6 8 Y W

#292 6 solutions4×5 · 3 6 A D W

#293 6 solutions4×5 · 4 6 A C W

#294 6 solutions4×5 · 4 A C D W V

#295 6 solutions4×5 · 5 6 7 A V

#296 6 solutions4×5 · 5 6 C E W

#297 6 solutions4×5 · 5 8 A B W

#298 6 solutions4×5 · 6 8 B X Y

#299 6 solutions4×5 · 6 B C E Y

#300 6 solutions4×5 · 7 8 C Y W V

#301 6 solutions4×5 · 7 A B D Y

#302 6 solutions4×5 · 8 D E X Y V

#303 7 solutions3×5 · 3 E Y W V

#304 7 solutions3×5 · 5 D Y W V

#305 7 solutions3×5 · 7 D Y W V

#306 7 solutions4×5 · 2 3 7 A V

#307 7 solutions4×5 · 2 3 7 D V

#308 7 solutions4×5 · 2 4 6 C V

#309 7 solutions4×5 · 2 4 A X Y

#310 7 solutions4×5 · 2 6 C D W

#311 7 solutions4×5 · 2 8 A E W

#312 7 solutions4×5 · 2 A B C Y

#313 7 solutions4×5 · 3 5 6 Y W

#314 7 solutions4×5 · 3 5 7 B V

#315 7 solutions4×5 · 3 6 8 X W

#316 7 solutions4×5 · 3 7 B D W

#317 7 solutions4×5 · 3 7 B X Y

#318 7 solutions4×5 · 4 A C E W V

#319 7 solutions4×5 · 4 D E X Y V

#320 7 solutions4×5 · 5 6 7 B V

#321 7 solutions4×5 · 5 6 7 Y W

#322 7 solutions4×5 · 5 6 B D W

#323 7 solutions4×5 · 5 6 D X Y

#324 7 solutions4×5 · 6 7 A D W

#325 7 solutions4×5 · 6 7 A X Y

#326 7 solutions4×5 · 8 A B E Y

#327 7 solutions4×5 · 8 A C E W V

#328 7 solutions4×5 · 8 A D E W V

#329 7 solutions4×5 · 8 A D X Y V

#330 8 solutions3×5 · 2 A X W V

#331 8 solutions3×5 · 2 E Y W V

#332 8 solutions3×5 · 3 D X W V

#333 8 solutions3×5 · 5 C Y W V

#334 8 solutions4×5 · 2 3 7 C V

#335 8 solutions4×5 · 2 3 8 X W

#336 8 solutions4×5 · 2 4 7 B V

#337 8 solutions4×5 · 2 5 B C W

#338 8 solutions4×5 · 2 5 B D W

#339 8 solutions4×5 · 2 6 8 B V

#340 8 solutions4×5 · 2 6 8 X W

#341 8 solutions4×5 · 2 6 D X Y

#342 8 solutions4×5 · 2 A C D X

#343 8 solutions4×5 · 2 A C D Y

#344 8 solutions4×5 · 3 7 A D W

#345 8 solutions4×5 · 4 5 6 B V

#346 8 solutions4×5 · 4 5 6 X W

#347 8 solutions4×5 · 4 5 6 Y W

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#690 46 solutions3×5 · 2 B Y W V

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#699 48 solutions3×5 · 6 E Y W V

#700 48 solutions4×5 · 3 4 C X W V

#701 48 solutions4×5 · 5 8 A X W V

#702 49 solutions4×5 · 7 A C X Y V

#703 49 solutions4×5 · A B C D Y V

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#705 50 solutions4×5 · 8 A B X Y V

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#707 52 solutions4×5 · 3 A D X Y V

#708 52 solutions4×5 · 5 6 D Y W V

#709 52 solutions4×5 · 7 B D X Y V

#710 52 solutions4×5 · A C D X Y W

#711 53 solutions4×5 · 2 5 6 Y W

#712 53 solutions4×5 · 2 8 D Y W V

#713 54 solutions4×5 · 2 3 6 X W

#714 54 solutions4×5 · 4 B D X Y V

#715 55 solutions4×5 · 3 5 A Y W V

#716 55 solutions4×5 · 4 B E X Y V

#717 56 solutions4×5 · 2 C E X Y V

#718 56 solutions4×5 · 3 5 C X W V

#719 56 solutions4×5 · 3 7 C Y W V

#720 56 solutions4×5 · 5 8 A Y W V

#721 57 solutions4×5 · 2 5 6 B V

#722 57 solutions4×5 · 5 A B D W V

#723 58 solutions4×5 · 4 A B E W V

#724 59 solutions3×5 · 7 B X W V

#725 59 solutions4×5 · 2 5 D X W V

#726 59 solutions4×5 · 2 7 E X W V

#727 59 solutions4×5 · 3 8 B Y W V

#728 60 solutions4×5 · 2 7 E Y W V

#729 61 solutions4×5 · 6 A E X Y V

#730 62 solutions4×5 · 5 6 C Y W V

#731 62 solutions4×5 · B D E X Y W

#732 63 solutions4×5 · 4 A B X Y V

#733 63 solutions4×5 · 6 8 E X W V

#734 64 solutions4×5 · 4 7 B Y W V

#735 64 solutions4×5 · 6 7 D Y W V

#736 65 solutions4×5 · 6 D E X Y V

#737 65 solutions4×5 · 7 B C X Y V

#738 66 solutions4×5 · 3 7 E X W V

#739 66 solutions4×5 · 4 6 D X W V

#740 68 solutions4×5 · 2 8 A X W V

#741 68 solutions4×5 · 6 7 E Y W V

#742 69 solutions4×5 · 5 B C X Y V

#743 69 solutions4×5 · 5 B D X Y V

#744 70 solutions4×5 · 7 A D X Y V

#745 71 solutions4×5 · 2 3 E Y W V

#746 71 solutions4×5 · 2 4 E Y W V

#747 71 solutions4×5 · 2 A C D W V

#748 71 solutions4×5 · 3 7 C X W V

#749 71 solutions4×5 · 3 A E X Y V

#750 71 solutions4×5 · 5 B E X Y V

#751 72 solutions3×5 · 5 B X W V

#752 72 solutions4×5 · 6 A D X Y V

#753 73 solutions4×5 · 3 4 B Y W V

#754 74 solutions4×5 · 2 3 C Y W V

#755 74 solutions4×5 · 2 C D X Y V

#756 74 solutions4×5 · 4 6 C Y W V

#757 75 solutions4×5 · 4 6 A Y W V

#758 76 solutions4×5 · 3 B C D W V

#759 77 solutions4×5 · 2 6 A X Y

#760 77 solutions4×5 · 3 7 D X W V

#761 77 solutions4×5 · 6 8 A X W V

#762 78 solutions4×5 · 2 5 A Y W V

#763 78 solutions4×5 · 2 5 D Y W V

#764 80 solutions4×5 · 4 6 E Y W V

#765 80 solutions4×5 · B C E X Y W

#766 81 solutions4×5 · 3 8 B X W V

#767 82 solutions4×5 · 2 B C E W V

#768 83 solutions4×5 · 2 5 C Y W V

#769 83 solutions4×5 · 3 A B E W V

#770 83 solutions4×5 · 3 A C X Y V

#771 83 solutions4×5 · 3 B E X Y V

#772 83 solutions4×5 · A B C D X V

#773 86 solutions4×5 · 2 5 E X W V

#774 87 solutions4×5 · 2 6 B X Y

#775 88 solutions4×5 · 2 3 D Y W V

#776 88 solutions4×5 · 3 5 B Y W V

#777 89 solutions4×5 · 2 4 C X W V

#778 89 solutions4×5 · 2 8 B Y W V

#779 89 solutions4×5 · 5 7 B Y W V

#780 89 solutions4×5 · 5 8 B Y W V

#781 89 solutions4×5 · 6 8 A Y W V

#782 90 solutions4×5 · 2 3 A X W V

#783 90 solutions4×5 · 2 4 A X W V

#784 90 solutions4×5 · 5 A B E W V

#785 90 solutions4×5 · 6 C E X Y V

#786 91 solutions4×5 · 7 A B C W V

#787 93 solutions4×5 · 5 6 D X W V

#788 94 solutions4×5 · 2 B D E W V

#789 96 solutions4×5 · 2 4 D X W V

#790 96 solutions4×5 · 2 4 E X W V

#791 97 solutions4×5 · 4 5 B Y W V

#792 98 solutions4×5 · 3 5 A X W V

#793 99 solutions4×5 · 3 6 E Y W V

#794 99 solutions4×5 · 4 5 B X W V

#795 100 solutions4×5 · 2 6 A B W

#796 101 solutions4×5 · 2 8 B X W V

#797 103 solutions4×5 · 2 7 D X W V

#798 103 solutions4×5 · 4 6 C X W V

#799 104 solutions4×5 · 3 7 A Y W V

#800 104 solutions4×5 · 3 B D X Y V

#801 106 solutions4×5 · 3 7 A X W V

#802 107 solutions4×5 · 2 5 C X W V

#803 107 solutions4×5 · 7 A B X Y V

#804 107 solutions4×5 · B C D X Y W

#805 109 solutions4×5 · 3 A B C W V

#806 109 solutions4×5 · 4 6 E X W V

#807 109 solutions4×5 · 6 7 A Y W V

#808 111 solutions4×5 · 3 6 D Y W V

#809 111 solutions4×5 · 5 8 B X W V

#810 115 solutions4×5 · 6 C D X Y V

#811 116 solutions4×5 · 3 B C X Y V

#812 117 solutions4×5 · 5 7 B X W V

#813 118 solutions4×5 · 2 7 A Y W V

#814 119 solutions4×5 · 2 B C D W V

#815 119 solutions4×5 · 3 A B D W V

#816 119 solutions4×5 · 5 A B X Y V

#817 120 solutions4×5 · 3 7 B Y W V

#818 120 solutions4×5 · 6 7 E X W V

#819 121 solutions4×5 · 2 4 A Y W V

#820 122 solutions4×5 · 2 3 A Y W V

#821 122 solutions4×5 · 2 A C X Y V

#822 122 solutions4×5 · 4 7 B X W V

#823 123 solutions4×5 · 6 B D E W V

#824 123 solutions4×5 · A B C X Y W

#825 123 solutions4×5 · A B E X Y W

#826 126 solutions4×5 · 4 6 A X W V

#827 126 solutions4×5 · 6 B C E W V

#828 127 solutions4×5 · 5 6 E Y W V

#829 128 solutions4×5 · 2 3 E X W V

#830 129 solutions4×5 · 3 5 B X W V

#831 129 solutions4×5 · 6 7 D X W V

#832 132 solutions4×5 · 2 7 A X W V

#833 133 solutions4×5 · 2 7 C X W V

#834 133 solutions4×5 · 6 7 C Y W V

#835 133 solutions4×5 · A B D X Y W

#836 137 solutions4×5 · 3 4 B X W V

#837 138 solutions4×5 · 6 8 B Y W V

#838 140 solutions3×5 · 6 B Y W V

#839 140 solutions4×5 · 6 7 A X W V

#840 142 solutions4×5 · 2 3 C X W V

#841 142 solutions4×5 · 3 6 C Y W V

#842 145 solutions4×5 · 6 8 B X W V

#843 147 solutions4×5 · 6 A C X Y V

#844 149 solutions4×5 · 3 7 B X W V

#845 155 solutions4×5 · 5 6 A Y W V

#846 156 solutions4×5 · 6 B C D W V

#847 157 solutions4×5 · 2 3 D X W V

#848 158 solutions4×5 · 2 A B C W V

#849 159 solutions4×5 · 2 A D X Y V

#850 159 solutions4×5 · 2 A E X Y V

#851 162 solutions4×5 · 2 A B E W V

#852 163 solutions4×5 · 6 7 C X W V

#853 166 solutions4×5 · 2 A B D W V

#854 167 solutions4×5 · 5 6 C X W V

#855 169 solutions3×5 · 6 B X W V

#856 171 solutions4×5 · 5 6 E X W V

#857 175 solutions4×5 · 5 6 A X W V

#858 179 solutions4×5 · 2 7 C Y W V

#859 182 solutions4×5 · 2 5 E Y W V

#860 184 solutions4×5 · 3 6 E X W V

#861 185 solutions4×5 · 6 A B C W V

#862 186 solutions4×5 · 2 5 A X W V

#863 187 solutions4×5 · 2 B E X Y V

#864 191 solutions4×5 · 3 A B X Y V

#865 192 solutions4×5 · 2 6 D Y W V

#866 192 solutions4×5 · 3 6 D X W V

#867 193 solutions4×5 · 6 A B D W V

#868 198 solutions4×5 · 6 A B E W V

#869 201 solutions4×5 · 2 A B X Y V

#870 224 solutions4×5 · 6 7 B Y W V

#871 225 solutions4×5 · 3 6 A Y W V

#872 229 solutions4×5 · 3 6 C X W V

#873 243 solutions4×5 · 2 7 B X W V

#874 245 solutions4×5 · 2 B C X Y V

#875 245 solutions4×5 · 2 B D X Y V

#876 246 solutions4×5 · 2 7 B Y W V

#877 262 solutions4×5 · 2 6 E X W V

#878 262 solutions4×5 · 2 6 E Y W V

#879 263 solutions4×5 · 2 3 B Y W V

#880 270 solutions4×5 · 2 4 B Y W V

#881 273 solutions4×5 · 4 6 B Y W V

#882 276 solutions4×5 · 6 B D X Y V

#883 284 solutions4×5 · 6 B E X Y V

#884 292 solutions4×5 · 2 4 B X W V

#885 292 solutions4×5 · 6 B C X Y V

#886 296 solutions4×5 · 2 6 D X W V

#887 299 solutions4×5 · 2 6 C Y W V

#888 307 solutions4×5 · 3 6 A X W V

#889 315 solutions4×5 · 2 3 B X W V

#890 317 solutions4×5 · 2 5 B Y W V

#891 331 solutions4×5 · 5 6 B Y W V

#892 337 solutions4×5 · 2 5 B X W V

#893 343 solutions4×5 · 6 A B X Y V

#894 353 solutions4×5 · 6 7 B X W V

#895 390 solutions4×5 · 2 6 C X W V

#896 392 solutions4×5 · 4 6 B X W V

#897 403 solutions4×5 · 3 6 B Y W V

#898 411 solutions4×5 · 2 6 A Y W V

#899 438 solutions4×5 · 5 6 B X W V

#900 488 solutions4×5 · 2 6 A X W V

#901 556 solutions4×5 · 3 6 B X W V

#902 888 solutions4×5 · 2 6 B X W V

#903 1,0541 054 solutions4×5 · 2 6 B Y W V

What locks a starting set

A starting set is locked when some pentomino, added next, gives a rectangle with no solution. Of 1,008 solvable starting sets, 105 can lock this way.

105locked starting sets, all of them 4×5 starts with 5 pieces (19% of that group)

0locks after the first addition: if the first pentomino fits, every later one does too

131bad first picks across those sets; 86 sets have exactly one

The pentomino added first

How often each pentomino is a dead end when it is the first one added to a 4×5 five-piece start. Pentomino 8 (Z pentomino) is the worst by a wide margin; 2 (the L) almost never locks anything.

Pentomino added	Dead ends	Times possible	Rate
8 Z pentomino	48	416	11.5%
7 U pentomino	29	388	7.5%
4 N pentomino	24	404	5.9%
5 V pentomino	17	375	4.5%
3 Y pentomino	9	364	2.5%
6 P pentomino	3	344	0.9%
2 L pentomino	1	360	0.3%

Pieces in the starting set

Among the 550 solvable 4×5 starts with 5 pieces, the share of those containing each piece that can lock. The last column compares it with the average of 19%. Tetrominoes C (T), D (S) and E (O) are the strongest warning signs.

Piece in the start set	Locked	Sets with it	Rate	vs. average
C T tetromino	52	165	32%	1.65×
D S tetromino	46	157	29%	1.53×
8 Z pentomino	35	134	26%	1.37×
E O tetromino	42	163	26%	1.35×
V monomino	32	137	23%	1.22×
7 U pentomino	36	162	22%	1.16×
A I tetromino	34	166	20%	1.07×
5 V pentomino	33	175	19%	0.99×
4 N pentomino	27	146	18%	0.97×
X L tromino	28	167	17%	0.88×
3 Y pentomino	31	186	17%	0.87×
Y I tromino	26	161	16%	0.85×
B L tetromino	28	205	14%	0.72×
2 L pentomino	25	190	13%	0.69×
W domino	29	230	13%	0.66×
6 P pentomino	21	206	10%	0.53×

Start piece and first pentomino together

Each cell is the share of 4×5 five-piece starts containing the row’s piece where adding the column’s pentomino first is a dead end. Hover a cell for the raw counts.

In the start set ↓ / added first →	2	3	4	5	6	7	8
2	–	1%	3%	1%	0%	3%	7%
3	0%	–	5%	3%	1%	6%	9%
4	0%	3%	–	5%	1%	5%	15%
5	0%	3%	7%	–	2%	11%	9%
6	0%	1%	4%	1%	–	3%	5%
7	1%	3%	5%	6%	2%	–	18%
8	1%	4%	11%	5%	3%	14%	–
A	0%	4%	6%	5%	0%	7%	11%
B	1%	1%	3%	6%	0%	7%	9%
C	0%	3%	11%	9%	2%	10%	18%
D	0%	4%	9%	8%	1%	9%	19%
E	1%	3%	7%	7%	0%	16%	13%
X	0%	2%	5%	4%	0%	8%	10%
Y	0%	2%	6%	5%	0%	5%	13%
W	1%	1%	2%	3%	0%	6%	8%
V	0%	5%	10%	3%	4%	7%	12%

Set composition

Starts with fewer pentominoes, and so more small pieces, lock far more often.

4×5 five-piece starts with	Locked	Sets	Rate
1 pentomino	34	103	33%
2 pentominoes	39	245	16%
3 pentominoes	32	202	16%
By number of tetrominoes
0 tetrominoes	0	65	0%
1 tetromino	42	217	19%
2 tetrominoes	29	165	18%
3 tetrominoes	34	103	33%

Every locked starting set

Sorted by how many first picks are dead ends (7 with 3, 12 with 2, 86 with 1).

Pieces	Solutions	Dead end if added first
3 C D E Y	1	457
4 A C E Y	1	578
5 7 8 C V	1	346
5 A D E X	4	347
5 B C D Y	5	348
7 A D E Y	1	348
8 B C E Y	2	457
3 A D E Y	1	78
4 5 C E W	1	78
4 5 C X Y	1	78
4 7 B C W	3	58
4 B C D Y	2	58
5 B D E X	1	78
7 8 B E W	1	23
7 A B E X	2	58
7 A C E X	4	35
7 B C D X	1	58
7 B D E X	1	58
8 B D E X	2	57
2 3 4 A V	7	5
2 3 4 D V	2	8
2 3 5 A V	3	4
2 3 7 E V	2	8
2 3 8 D V	3	4
2 3 8 E V	4	7
2 4 5 A V	5	3
2 4 7 C V	8	5
2 4 8 D V	2	3
2 4 A C W	2	8
2 4 C D W	3	8
2 5 7 C V	9	4
2 5 8 C V	2	4
2 6 7 E V	6	8
2 6 8 E V	5	7
2 7 B E W	5	8
2 7 C X Y	12	8
2 7 D E W	1	8
2 7 D X Y	14	8
2 8 B E W	4	7
2 8 D E W	4	7
2 8 D X Y	5	7
2 B C D Y	12	8
2 B C E Y	8	4
2 C D E Y	1	8
3 4 6 A V	3	8
3 4 6 C V	2	8
3 4 6 D V	1	8
3 4 7 A V	1	8
3 4 8 C V	2	6
3 4 A X Y	1	8
3 5 7 C V	1	8
3 5 8 C V	2	7
3 5 C E W	1	7
3 5 D E W	1	8
3 6 7 E V	2	8
3 6 8 A V	4	4
3 6 8 C V	3	4
3 6 8 D V	2	4
3 6 8 E V	3	7
3 7 B E W	4	8
3 7 D X Y	3	8
3 8 B E W	5	7
3 8 C D W	1	4
3 A C D X	1	8
3 A C E X	1	7
3 A C E Y	6	5
3 B C D Y	4	5
4 5 A E W	4	7
4 5 B C W	3	7
4 5 C D W	4	8
4 6 8 A V	2	3
4 7 A C W	4	8
4 7 A X Y	2	8
4 7 C D W	2	8
4 A B C Y	3	8
4 B C D X	4	8
5 6 7 C V	2	8
5 6 7 D V	1	8
5 6 8 C V	2	7
5 6 8 D V	2	7
5 6 C D W	3	8
5 7 8 D V	1	6
5 7 A D W	1	8
5 7 B C W	5	4
5 7 C X Y	1	4
5 8 A E W	5	7
5 8 B D W	5	7
5 8 C X Y	1	4
5 A B E X	5	7
5 A C E X	4	7
5 B C D X	2	7
5 C D E X	1	8
6 8 A D W	2	4
6 8 C D W	2	5
6 8 D E W	1	4
6 A D E X	4	4
6 C D E X	2	4
7 8 A D W	1	5
7 8 A X Y	2	4
7 8 B D W	2	5
7 A B C Y	4	8
7 A C D Y	6	8
7 B C E Y	1	8
8 A B E X	6	7
8 A C E X	1	4

Ce qui bloque une combinaison de départ

Une combinaison de départ se bloque quand un pentamino, ajouté ensuite, donne un rectangle sans solution. Sur 1 008 combinaisons de départ solubles, 105 peuvent se bloquer ainsi.

105combinaisons qui peuvent se bloquer, toutes des départs 4×5 à 5 pièces (19 % de ce groupe)

0blocage après le premier ajout : si le premier pentamino passe, tous les suivants passent aussi

131mauvais premiers choix dans ces combinaisons ; 86 n’en ont qu’un seul

Le pentamino ajouté en premier

La fréquence à laquelle chaque pentamino mène à une impasse quand il est le premier ajouté à un départ 4×5 à cinq pièces. Le pentamino 8 (pentamino Z) est de loin le pire ; le 2 (le L) ne bloque presque jamais rien.

Pentamino ajouté	Impasses	Occasions	Taux
8 pentamino Z	48	416	11,5 %
7 pentamino U	29	388	7,5 %
4 pentamino N	24	404	5,9 %
5 pentamino V	17	375	4,5 %
3 pentamino Y	9	364	2,5 %
6 pentamino P	3	344	0,9 %
2 pentamino L	1	360	0,3 %

Les pièces du départ

Parmi les 550 départs 4×5 à 5 pièces solubles, la part de ceux qui contiennent chaque pièce et peuvent se bloquer. La dernière colonne la compare à la moyenne de 19 %. Les tétraminos C (T), D (S) et E (O) sont les signaux d’alerte les plus nets.

Pièce du départ	Bloquées	Combinaisons	Taux	par rapport à la moyenne
C tétramino T	52	165	32 %	1,65×
D tétramino S	46	157	29 %	1,53×
8 pentamino Z	35	134	26 %	1,37×
E tétramino O	42	163	26 %	1,35×
V monomino	32	137	23 %	1,22×
7 pentamino U	36	162	22 %	1,16×
A tétramino I	34	166	20 %	1,07×
5 pentamino V	33	175	19 %	0,99×
4 pentamino N	27	146	18 %	0,97×
X triomino L	28	167	17 %	0,88×
3 pentamino Y	31	186	17 %	0,87×
Y triomino I	26	161	16 %	0,85×
B tétramino L	28	205	14 %	0,72×
2 pentamino L	25	190	13 %	0,69×
W domino	29	230	13 %	0,66×
6 pentamino P	21	206	10 %	0,53×

Pièce du départ et premier pentamino ensemble

Chaque case donne la part des départs 4×5 à cinq pièces contenant la pièce de la ligne pour lesquels ajouter d’abord le pentamino de la colonne mène à une impasse. Survolez une case pour voir les effectifs.

Dans le départ ↓ / ajouté en premier →	2	3	4	5	6	7	8
2	–	1 %	3 %	1 %	0 %	3 %	7 %
3	0 %	–	5 %	3 %	1 %	6 %	9 %
4	0 %	3 %	–	5 %	1 %	5 %	15 %
5	0 %	3 %	7 %	–	2 %	11 %	9 %
6	0 %	1 %	4 %	1 %	–	3 %	5 %
7	1 %	3 %	5 %	6 %	2 %	–	18 %
8	1 %	4 %	11 %	5 %	3 %	14 %	–
A	0 %	4 %	6 %	5 %	0 %	7 %	11 %
B	1 %	1 %	3 %	6 %	0 %	7 %	9 %
C	0 %	3 %	11 %	9 %	2 %	10 %	18 %
D	0 %	4 %	9 %	8 %	1 %	9 %	19 %
E	1 %	3 %	7 %	7 %	0 %	16 %	13 %
X	0 %	2 %	5 %	4 %	0 %	8 %	10 %
Y	0 %	2 %	6 %	5 %	0 %	5 %	13 %
W	1 %	1 %	2 %	3 %	0 %	6 %	8 %
V	0 %	5 %	10 %	3 %	4 %	7 %	12 %

Composition des combinaisons

Les départs avec moins de pentaminos, donc plus de petites pièces, se bloquent bien plus souvent.

Départs 4×5 à cinq pièces avec	Bloquées	Combinaisons	Taux
1 pentamino	34	103	33 %
2 pentaminos	39	245	16 %
3 pentaminos	32	202	16 %
Par nombre de tétraminos
0 tétraminos	0	65	0 %
1 tétramino	42	217	19 %
2 tétraminos	29	165	18 %
3 tétraminos	34	103	33 %

Toutes les combinaisons qui peuvent se bloquer

Triées par nombre de premiers choix menant à une impasse (7 avec 3, 12 avec 2, 86 avec 1).

Pièces	Solutions	Impasse si ajouté en premier
3 C D E Y	1	457
4 A C E Y	1	578
5 7 8 C V	1	346
5 A D E X	4	347
5 B C D Y	5	348
7 A D E Y	1	348
8 B C E Y	2	457
3 A D E Y	1	78
4 5 C E W	1	78
4 5 C X Y	1	78
4 7 B C W	3	58
4 B C D Y	2	58
5 B D E X	1	78
7 8 B E W	1	23
7 A B E X	2	58
7 A C E X	4	35
7 B C D X	1	58
7 B D E X	1	58
8 B D E X	2	57
2 3 4 A V	7	5
2 3 4 D V	2	8
2 3 5 A V	3	4
2 3 7 E V	2	8
2 3 8 D V	3	4
2 3 8 E V	4	7
2 4 5 A V	5	3
2 4 7 C V	8	5
2 4 8 D V	2	3
2 4 A C W	2	8
2 4 C D W	3	8
2 5 7 C V	9	4
2 5 8 C V	2	4
2 6 7 E V	6	8
2 6 8 E V	5	7
2 7 B E W	5	8
2 7 C X Y	12	8
2 7 D E W	1	8
2 7 D X Y	14	8
2 8 B E W	4	7
2 8 D E W	4	7
2 8 D X Y	5	7
2 B C D Y	12	8
2 B C E Y	8	4
2 C D E Y	1	8
3 4 6 A V	3	8
3 4 6 C V	2	8
3 4 6 D V	1	8
3 4 7 A V	1	8
3 4 8 C V	2	6
3 4 A X Y	1	8
3 5 7 C V	1	8
3 5 8 C V	2	7
3 5 C E W	1	7
3 5 D E W	1	8
3 6 7 E V	2	8
3 6 8 A V	4	4
3 6 8 C V	3	4
3 6 8 D V	2	4
3 6 8 E V	3	7
3 7 B E W	4	8
3 7 D X Y	3	8
3 8 B E W	5	7
3 8 C D W	1	4
3 A C D X	1	8
3 A C E X	1	7
3 A C E Y	6	5
3 B C D Y	4	5
4 5 A E W	4	7
4 5 B C W	3	7
4 5 C D W	4	8
4 6 8 A V	2	3
4 7 A C W	4	8
4 7 A X Y	2	8
4 7 C D W	2	8
4 A B C Y	3	8
4 B C D X	4	8
5 6 7 C V	2	8
5 6 7 D V	1	8
5 6 8 C V	2	7
5 6 8 D V	2	7
5 6 C D W	3	8
5 7 8 D V	1	6
5 7 A D W	1	8
5 7 B C W	5	4
5 7 C X Y	1	4
5 8 A E W	5	7
5 8 B D W	5	7
5 8 C X Y	1	4
5 A B E X	5	7
5 A C E X	4	7
5 B C D X	2	7
5 C D E X	1	8
6 8 A D W	2	4
6 8 C D W	2	5
6 8 D E W	1	4
6 A D E X	4	4
6 C D E X	2	4
7 8 A D W	1	5
7 8 A X Y	2	4
7 8 B D W	2	5
7 A B C Y	4	8
7 A C D Y	6	8
7 B C E Y	1	8
8 A B E X	6	7
8 A C E X	1	4

Which pentomino makes the next stage harder

In the 903 starting sets that never lock, every rectangle stays solvable. But some pentominoes leave far fewer solutions than others when they are added. This page measures that across all 60,334 possible pentomino additions in those games.

×0.46solutions after adding 8 (Z pentomino), compared with the average option at the same moment

72%of first additions where 8 is available, it leaves the fewest solutions of all the options

×2.42for 6 (P pentomino), the most forgiving pentomino to add

How the comparison works

At any moment in a game, the player has a few unused pentominoes to choose from. For each one, the growth is the number of solutions after adding it divided by the number before. Bigger rectangles usually have more solutions, so growth depends heavily on where you are in the game. To remove that, each option is compared with the other options available at the same moment: a factor of ×0.50 means adding that pentomino leaves half as many solutions as a typical alternative would. Factors are geometric means over every starting set and every order of play. Solution counts are modulo turning and mirroring the whole rectangle.

Effect of each pentomino, by stage

8 is the hard one at every stage, followed by 7 (U) and 4 (N). 6 (P) gives more than twice the solutions of a typical pick, and 2 (L) about 60% more. The effect barely changes from the first addition to the third.

Pentomino added	1st addition	2nd	3rd	All stages
8 Z pentomino	×0.43	×0.44	×0.47	×0.46
7 U pentomino	×0.75	×0.75	×0.75	×0.75
4 N pentomino	×0.78	×0.84	×0.86	×0.85
5 V pentomino	×0.87	×0.89	×0.91	×0.90
3 Y pentomino	×1.11	×1.08	×1.08	×1.09
2 L pentomino	×1.87	×1.65	×1.60	×1.63
6 P pentomino	×2.60	×2.57	×2.32	×2.42

How often it’s the worst option

The share of decisions in which that pentomino leaves the fewest solutions among the options available. The figure in brackets is what it would be if every option were equally likely to be worst. By the third addition, 8 is the worst option almost every time it’s on the table; 6 essentially never is.

Pentomino	1st addition	2nd	3rd
8	72% (19%)	90% (23%)	98% (29%)
7	25% (19%)	35% (23%)	49% (29%)
4	16% (19%)	17% (23%)	27% (29%)
5	9% (19%)	8% (23%)	14% (29%)
3	6% (19%)	5% (23%)	7% (29%)
2	1% (19%)	1% (23%)	1% (29%)
6	0% (19%)	0% (23%)	0% (29%)

When adding a piece leaves fewer solutions than before

The rectangle grows by a row with each pentomino, so the count usually goes up. These are the additions where it went down instead: the bigger puzzle has fewer solutions than the smaller one.

Pentomino added	Count went down	Additions	Rate
8	637	9,067	7.0%
7	229	8,773	2.6%
4	159	8,875	1.8%
5	137	8,646	1.6%
3	57	8,459	0.7%
2	15	8,362	0.2%
6	2	8,152	0.0%

Does the damage carry over?

It would be natural to expect some pieces to make the following stages harder. The data says the cost is paid once, when the piece goes in. The first column compares the growth of the next additions when the pentomino is already on the board with when it isn’t, within the same starting set. Every factor is close to ×1, so later stages grow at their usual rate. The second column is the net result at the end of the game: the final rectangles (all three additions) that include the pentomino against those that don’t, from the same start. Because the lower count persists, ending with 8 in the set means about a third as many solutions.

Pentomino	Next additions, if already placed	Final rectangle, with vs. without
8	×1.00	×0.35
7	×0.97	×0.65
4	×1.06	×0.82
5	×1.04	×0.91
3	×0.98	×1.09
2	×0.95	×1.96
6	×1.01	×3.30

By starting rectangle

The same ranking holds whether the game starts in 3×5 or 4×5.

Pentomino	Games starting 3×5	Games starting 4×5
8	×0.43	×0.46
7	×0.75	×0.75
4	×0.81	×0.86
5	×0.88	×0.90
3	×1.06	×1.09
2	×1.65	×1.63
6	×2.51	×2.41

Start piece and first pentomino together

The factor for the first addition, split by which pieces are in the starting set. Red is fewer solutions than a typical pick, green more. 8’s penalty appears whatever the start contains (between ×0.34 and ×0.52); it is steepest when the start holds C (T) or X (the L tromino).

In the start set ↓ / added first →	8	7	4	5	3	2	6
2	0.44	0.77	0.97	1.03	1.14	–	2.82
3	0.47	0.79	0.80	0.76	–	1.82	2.68
4	0.41	0.80	–	0.86	0.94	1.93	2.24
5	0.52	0.60	0.82	–	0.91	1.95	2.48
6	0.49	0.87	0.86	1.01	1.32	2.13	–
7	0.39	–	0.92	0.70	1.13	1.67	2.52
8	–	0.57	0.68	0.96	0.94	1.49	2.14
A	0.45	0.68	0.73	0.86	1.20	1.93	2.65
B	0.43	0.73	0.83	0.85	1.04	1.82	2.61
C	0.34	0.96	0.68	0.75	1.34	1.98	2.89
D	0.45	0.73	0.69	0.79	1.27	1.94	2.70
E	0.46	0.73	0.76	1.02	0.99	1.64	2.75
X	0.38	0.77	0.78	0.88	1.15	1.81	2.74
Y	0.42	0.74	0.72	0.86	1.08	2.06	2.59
W	0.43	0.72	0.78	0.88	1.10	1.83	2.61
V	0.41	0.77	0.74	0.86	1.10	1.87	2.54

The steepest drops

The twelve additions that cut the solution count the most, each shown as one solution before and after.

Quel pentamino complique l’étape suivante

Dans les 903 combinaisons de départ qui ne se bloquent jamais, tous les rectangles restent solubles. Mais certains pentaminos laissent beaucoup moins de solutions que d’autres quand on les ajoute. Cette page le mesure sur les 60 334 ajouts de pentamino possibles dans ces parties.

×0,46de solutions après l’ajout du 8 (pentamino Z), par rapport à l’option moyenne au même moment

72 %des premiers ajouts où le 8 est disponible, c’est lui qui laisse le moins de solutions

×2,42pour le 6 (pentamino P), le pentamino le plus facile à ajouter

Comment se fait la comparaison

À chaque moment de la partie, le joueur a le choix entre quelques pentaminos inutilisés. Pour chacun, la croissance est le nombre de solutions après l’ajout divisé par le nombre avant. Les grands rectangles ont en général plus de solutions, donc la croissance dépend beaucoup de l’avancement de la partie. Pour neutraliser cet effet, chaque option est comparée aux autres options disponibles au même moment : un facteur de ×0,50 signifie que ce pentamino laisse deux fois moins de solutions qu’une option typique. Les facteurs sont des moyennes géométriques sur toutes les combinaisons de départ et tous les ordres de jeu. Les solutions sont comptées sans les rotations ni les symétries du rectangle entier.

Effet de chaque pentamino, par étape

Le 8 est le plus difficile à chaque étape, suivi du 7 (U) et du 4 (N). Le 6 (P) donne plus de deux fois plus de solutions qu’un choix typique, et le 2 (L) environ 60 % de plus. L’effet change à peine entre le premier et le troisième ajout.

Pentamino ajouté	1er ajout	2e	3e	Toutes étapes
8 pentamino Z	×0,43	×0,44	×0,47	×0,46
7 pentamino U	×0,75	×0,75	×0,75	×0,75
4 pentamino N	×0,78	×0,84	×0,86	×0,85
5 pentamino V	×0,87	×0,89	×0,91	×0,90
3 pentamino Y	×1,11	×1,08	×1,08	×1,09
2 pentamino L	×1,87	×1,65	×1,60	×1,63
6 pentamino P	×2,60	×2,57	×2,32	×2,42

À quelle fréquence c’est la pire option

La part des décisions où ce pentamino laisse le moins de solutions parmi les options disponibles. Entre parenthèses : ce que ce serait si toutes les options avaient la même chance d’être la pire. Au troisième ajout, le 8 est presque toujours la pire option quand il est disponible ; le 6 ne l’est pratiquement jamais.

Pentamino	1er ajout	2e	3e
8	72 % (19 %)	90 % (23 %)	98 % (29 %)
7	25 % (19 %)	35 % (23 %)	49 % (29 %)
4	16 % (19 %)	17 % (23 %)	27 % (29 %)
5	9 % (19 %)	8 % (23 %)	14 % (29 %)
3	6 % (19 %)	5 % (23 %)	7 % (29 %)
2	1 % (19 %)	1 % (23 %)	1 % (29 %)
6	0 % (19 %)	0 % (23 %)	0 % (29 %)

Quand un ajout laisse moins de solutions qu’avant

Le rectangle grandit d’une rangée à chaque pentamino, donc le nombre de solutions augmente en général. Voici les ajouts où il a diminué : le plus grand casse-tête a moins de solutions que le plus petit.

Pentamino ajouté	Nombre en baisse	Ajouts	Taux
8	637	9 067	7,0 %
7	229	8 773	2,6 %
4	159	8 875	1,8 %
5	137	8 646	1,6 %
3	57	8 459	0,7 %
2	15	8 362	0,2 %
6	2	8 152	0,0 %

L’effet se prolonge-t-il ?

On pourrait s’attendre à ce que certaines pièces compliquent les étapes suivantes. Les données montrent que le coût se paie une seule fois, au moment où la pièce entre. La première colonne compare la croissance des ajouts suivants selon que le pentamino est déjà en jeu ou non, pour une même combinaison de départ. Tous les facteurs sont proches de ×1 : les étapes suivantes progressent au rythme habituel. La seconde colonne donne le bilan en fin de partie : les rectangles finaux (après trois ajouts) qui contiennent le pentamino, comparés à ceux qui ne le contiennent pas, depuis le même départ. Comme la baisse persiste, finir avec le 8 donne environ trois fois moins de solutions.

Pentamino	Ajouts suivants, s’il est déjà placé	Rectangle final, avec ou sans
8	×1,00	×0,35
7	×0,97	×0,65
4	×1,06	×0,82
5	×1,04	×0,91
3	×0,98	×1,09
2	×0,95	×1,96
6	×1,01	×3,30

Selon le rectangle de départ

Le classement est le même que la partie commence en 3×5 ou en 4×5.

Pentamino	Parties en 3×5	Parties en 4×5
8	×0,43	×0,46
7	×0,75	×0,75
4	×0,81	×0,86
5	×0,88	×0,90
3	×1,06	×1,09
2	×1,65	×1,63
6	×2,51	×2,41

Pièce du départ et premier pentamino ensemble

Le facteur du premier ajout, selon les pièces présentes au départ. Rouge : moins de solutions qu’un choix typique ; vert : plus. La pénalité du 8 apparaît quel que soit le départ (entre ×0,34 et ×0,52) ; elle est la plus forte quand le départ contient le C (T) ou le X (le triomino L).

Dans le départ ↓ / ajouté en premier →	8	7	4	5	3	2	6
2	0,44	0,77	0,97	1,03	1,14	–	2,82
3	0,47	0,79	0,80	0,76	–	1,82	2,68
4	0,41	0,80	–	0,86	0,94	1,93	2,24
5	0,52	0,60	0,82	–	0,91	1,95	2,48
6	0,49	0,87	0,86	1,01	1,32	2,13	–
7	0,39	–	0,92	0,70	1,13	1,67	2,52
8	–	0,57	0,68	0,96	0,94	1,49	2,14
A	0,45	0,68	0,73	0,86	1,20	1,93	2,65
B	0,43	0,73	0,83	0,85	1,04	1,82	2,61
C	0,34	0,96	0,68	0,75	1,34	1,98	2,89
D	0,45	0,73	0,69	0,79	1,27	1,94	2,70
E	0,46	0,73	0,76	1,02	0,99	1,64	2,75
X	0,38	0,77	0,78	0,88	1,15	1,81	2,74
Y	0,42	0,74	0,72	0,86	1,08	2,06	2,59
W	0,43	0,72	0,78	0,88	1,10	1,83	2,61
V	0,41	0,77	0,74	0,86	1,10	1,87	2,54

Les plus fortes baisses

Les douze ajouts qui réduisent le plus le nombre de solutions, chacun montré par une solution avant et après.

+ 7

25 → 1 solutions4×5 2 6 A E W, thenpuis 5×5 withavec 7

+ 8

25 → 1 solutions4×5 2 7 A C W, thenpuis 5×5 withavec 8

+ 8

18 → 1 solutions4×5 2 5 C X Y, thenpuis 5×5 withavec 8

+ 8

14 → 1 solutions4×5 6 B C D X, thenpuis 5×5 withavec 8

+ 5

24 → 2 solutions4×5 3 6 7 A V, thenpuis 5×5 withavec 5

+ 7

11 → 1 solutions4×5 5 8 A X Y, thenpuis 5×5 withavec 7

+ 7

20 → 2 solutions4×5 2 3 E X Y, thenpuis 5×5 withavec 7

+ 4

18 → 2 solutions4×5 2 5 C X Y, thenpuis 5×5 withavec 4

+ 8

45 → 5 solutions3×5 7 C X W V, thenpuis 4×5 withavec 8

+ 7

26 → 3 solutions4×5 2 5 A E W, thenpuis 5×5 withavec 7

+ 8

26 → 3 solutions4×5 2 5 A E W, thenpuis 5×5 withavec 8

+ 7

8 → 1 solutions4×5 2 5 B D W, thenpuis 5×5 withavec 7

Printing the five missing pentominoes

The box has 7 of the 12 pentominoes. Adding the other five makes the set complete for classic Katamino. This page checks what they do to this game: same rules, every starting set of 5 or 6 different pieces, up to three pentomino additions in any order.

1 I pentomino

9 T pentomino

10 F pentomino

11 X pentomino

12 W pentomino

Numbered by the generation order described on the Naming page: I first, then T, F, X, W after the seven in the box.

2,229starting sets with all 12 pentominoes available, up from 1,008

573of them never lock, fewer than the 903 safe starts in the box as sold

65%of first additions where 11 (X) is chosen end in a rectangle with no solution

The short answer

Print all five for Katamino, but leave 11 (X) out of this game’s pentomino pool, or keep it as a deliberate hard mode. X alone is responsible for most of the damage: with it in the pool, only 372 of the box’s 1,008 original starting sets stay safe. Without it, adding 1, 9, 10 and 12 gives 1,362 starting sets that never lock, against 903 today. T, F and W each break a few original starts, but far fewer than X does.

Which extras to add

Every choice of extra pentominoes. “Starting sets” counts the solvable 3×5 and 4×5 starts that use only the pieces available; “never lock” means every sequence of up to three additions from the pool stays solvable. The last column follows the 1,008 starting sets that use only the original pieces. Choices that include 11 (X) are listed last. The highlighted row is the suggested set.

Extra pentominoes printed	Starting sets	Never lock	Share	Original starts still safe
none (the box as sold)	1,008	903	90%	903 of 1,008
1 (I)	1,255	1,084	86%	903 of 1,008
9 (T)	1,279	1,048	82%	857 of 1,008
10 (F)	1,241	1,013	82%	846 of 1,008
12 (W)	1,223	919	75%	786 of 1,008
1 (I), 9 (T)	1,561	1,241	80%	857 of 1,008
1 (I), 10 (F)	1,514	1,183	78%	846 of 1,008
1 (I), 12 (W)	1,493	1,082	72%	786 of 1,008
9 (T), 10 (F)	1,546	1,157	75%	813 of 1,008
9 (T), 12 (W)	1,523	1,048	69%	749 of 1,008
10 (F), 12 (W)	1,476	1,047	71%	764 of 1,008
1 (I), 9 (T), 10 (F)	1,854	1,339	72%	813 of 1,008
1 (I), 9 (T), 12 (W)	1,829	1,226	67%	749 of 1,008
1 (I), 10 (F), 12 (W)	1,772	1,214	69%	764 of 1,008
9 (T), 10 (F), 12 (W)	1,810	1,181	65%	734 of 1,008
1 (I), 9 (T), 10 (F), 12 (W)	2,142	1,362	64%	734 of 1,008
11 (X)	1,080	399	37%	372 of 1,008
1 (I), 11 (X)	1,330	453	34%	372 of 1,008
9 (T), 11 (X)	1,356	458	34%	364 of 1,008
10 (F), 11 (X)	1,317	464	35%	364 of 1,008
11 (X), 12 (W)	1,298	401	31%	339 of 1,008
1 (I), 9 (T), 11 (X)	1,641	514	31%	364 of 1,008
1 (I), 10 (F), 11 (X)	1,593	520	33%	364 of 1,008
1 (I), 11 (X), 12 (W)	1,571	453	29%	339 of 1,008
9 (T), 10 (F), 11 (X)	1,627	529	33%	359 of 1,008
9 (T), 11 (X), 12 (W)	1,603	451	28%	334 of 1,008
10 (F), 11 (X), 12 (W)	1,555	460	30%	337 of 1,008
1 (I), 9 (T), 10 (F), 11 (X)	1,938	587	30%	359 of 1,008
1 (I), 9 (T), 11 (X), 12 (W)	1,912	506	26%	334 of 1,008
1 (I), 10 (F), 11 (X), 12 (W)	1,854	513	28%	337 of 1,008
9 (T), 10 (F), 11 (X), 12 (W)	1,894	517	27%	333 of 1,008
1 (I), 9 (T), 10 (F), 11 (X), 12 (W)	2,229	573	26%	333 of 1,008

Each pentomino as an addition

With all 12 in the pool: how often adding each pentomino at the 1st, 2nd or 3rd addition turns a solvable rectangle into one with no solution. The last column is the solution-count factor (compared with the other options at the same moment, among additions that stay solvable). The I bar never locks anything, since on a 5-wide board it can always lie as a full extra row. X is in a different league from every other piece.

Pentomino	1st addition	2nd	3rd	Solutions vs. typical pick
11 X · new	64.5%	25.5%	8.5%	×0.08
12 W · new	21.7%	2.2%	1.1%	×0.54
8 Z	18.0%	2.1%	1.2%	×0.54
10 F · new	15.9%	0.7%	0.5%	×0.92
9 T · new	11.9%	0.5%	0.5%	×0.77
4 N	10.1%	0.5%	0.3%	×1.27
7 U	8.6%	0.3%	0.1%	×1.36
5 V	5.8%	0.2%	0.2%	×1.39
3 Y	3.3%	0.0%	0.0%	×2.19
6 P	1.7%	0.0%	0.0%	×4.49
2 L	0.8%	0.0%	0.0%	×3.06
1 I · new	0.0%	0.0%	0.0%	×1.38

Locks can now happen later in the game

With the box as sold, every dead end was at the first addition. With all 12 pentominoes, 320 combinations of two additions fail even though each addition works on its own, and 38 combinations of three fail even though every smaller step works. X is part of 75% of the second-stage failures and 84% of the third-stage ones (first stage: 3,214 failing additions, 43% of them X).

What each new piece does to the original starts

Of the 903 original starting sets that never lock today, how many gain a dead end if only that one new pentomino is added to the pool.

New pentomino in the pool	Starts that start locking	Share
11 X	531	59%
12 W	117	13%
10 F	57	6%
9 T	46	5%
1 I	0	0%

X breaking well-behaved starts

Some of the original starting sets with the most solutions, each shown as one solution, where adding 11 (X) next leaves no solution at all. X’s centre needs a free cell on all four sides, so in a 5-wide board it can only sit in the three middle columns, and the cells it walls off in the corners are hard to fill.

270 solutions in 4×52 4 B Y W V + 11 → no solution

123 solutions in 4×56 B D E W V + 11 → no solution

121 solutions in 4×52 4 A Y W V + 11 → no solution

109 solutions in 4×54 6 E X W V + 11 → no solution

90 solutions in 4×55 A B E W V + 11 → no solution

89 solutions in 4×56 8 A Y W V + 11 → no solution

77 solutions in 4×52 6 A X Y + 11 → no solution

73 solutions in 4×53 4 B Y W V + 11 → no solution

Imprimer les cinq pentaminos manquants

La boîte contient 7 des 12 pentaminos. Ajouter les cinq autres complète le jeu pour le Katamino classique. Cette page vérifie leur effet sur ce jeu-ci : mêmes règles, toutes les combinaisons de départ de 5 ou 6 pièces différentes, jusqu’à trois ajouts de pentaminos dans n’importe quel ordre.

1 pentamino I

9 pentamino T

10 pentamino F

11 pentamino X

12 pentamino W

Numérotés selon l’ordre de génération décrit à la page Noms : le I d’abord, puis T, F, X, W après les sept de la boîte.

2 229combinaisons de départ avec les 12 pentaminos, contre 1 008

573ne se bloquent jamais, moins que les 903 départs sûrs de la boîte d’origine

65 %des premiers ajouts du 11 (X) donnent un rectangle sans solution

En bref

Imprimez les cinq pour le Katamino, mais retirez le 11 (X) de la réserve de pentaminos de ce jeu, ou gardez-le comme mode difficile assumé. Le X est responsable de l’essentiel des dégâts : avec lui dans la réserve, seuls 372 des 1 008 départs d’origine restent sûrs. Sans lui, ajouter les 1, 9, 10 et 12 donne 1 362 combinaisons qui ne se bloquent jamais, contre 903 aujourd’hui. Le T, le F et le W bloquent chacun quelques départs d’origine, mais bien moins que le X.

Quels pentaminos ajouter

Tous les choix possibles de pentaminos supplémentaires. « Combinaisons de départ » compte les départs 3×5 et 4×5 solubles avec les seules pièces disponibles ; « ne se bloquent jamais » signifie que toute suite de trois ajouts au plus depuis la réserve reste soluble. La dernière colonne suit les 1 008 combinaisons qui n’utilisent que les pièces d’origine. Les choix qui incluent le 11 (X) sont en fin de liste. La ligne surlignée est la sélection conseillée.

Pentaminos imprimés en plus	Combinaisons de départ	Ne se bloquent jamais	Part	Départs d’origine encore sûrs
aucun (la boîte d’origine)	1 008	903	90 %	903 sur 1 008
1 (I)	1 255	1 084	86 %	903 sur 1 008
9 (T)	1 279	1 048	82 %	857 sur 1 008
10 (F)	1 241	1 013	82 %	846 sur 1 008
12 (W)	1 223	919	75 %	786 sur 1 008
1 (I), 9 (T)	1 561	1 241	80 %	857 sur 1 008
1 (I), 10 (F)	1 514	1 183	78 %	846 sur 1 008
1 (I), 12 (W)	1 493	1 082	72 %	786 sur 1 008
9 (T), 10 (F)	1 546	1 157	75 %	813 sur 1 008
9 (T), 12 (W)	1 523	1 048	69 %	749 sur 1 008
10 (F), 12 (W)	1 476	1 047	71 %	764 sur 1 008
1 (I), 9 (T), 10 (F)	1 854	1 339	72 %	813 sur 1 008
1 (I), 9 (T), 12 (W)	1 829	1 226	67 %	749 sur 1 008
1 (I), 10 (F), 12 (W)	1 772	1 214	69 %	764 sur 1 008
9 (T), 10 (F), 12 (W)	1 810	1 181	65 %	734 sur 1 008
1 (I), 9 (T), 10 (F), 12 (W)	2 142	1 362	64 %	734 sur 1 008
11 (X)	1 080	399	37 %	372 sur 1 008
1 (I), 11 (X)	1 330	453	34 %	372 sur 1 008
9 (T), 11 (X)	1 356	458	34 %	364 sur 1 008
10 (F), 11 (X)	1 317	464	35 %	364 sur 1 008
11 (X), 12 (W)	1 298	401	31 %	339 sur 1 008
1 (I), 9 (T), 11 (X)	1 641	514	31 %	364 sur 1 008
1 (I), 10 (F), 11 (X)	1 593	520	33 %	364 sur 1 008
1 (I), 11 (X), 12 (W)	1 571	453	29 %	339 sur 1 008
9 (T), 10 (F), 11 (X)	1 627	529	33 %	359 sur 1 008
9 (T), 11 (X), 12 (W)	1 603	451	28 %	334 sur 1 008
10 (F), 11 (X), 12 (W)	1 555	460	30 %	337 sur 1 008
1 (I), 9 (T), 10 (F), 11 (X)	1 938	587	30 %	359 sur 1 008
1 (I), 9 (T), 11 (X), 12 (W)	1 912	506	26 %	334 sur 1 008
1 (I), 10 (F), 11 (X), 12 (W)	1 854	513	28 %	337 sur 1 008
9 (T), 10 (F), 11 (X), 12 (W)	1 894	517	27 %	333 sur 1 008
1 (I), 9 (T), 10 (F), 11 (X), 12 (W)	2 229	573	26 %	333 sur 1 008

Chaque pentamino comme ajout

Avec les 12 dans la réserve : la fréquence à laquelle l’ajout de chaque pentamino, au 1er, 2e ou 3e ajout, transforme un rectangle soluble en rectangle sans solution. La dernière colonne donne le facteur sur le nombre de solutions (par rapport aux autres options au même moment, parmi les ajouts qui restent solubles). La barre I ne bloque jamais rien : sur un plateau de 5 de large, elle peut toujours se poser comme une rangée complète de plus. Le X est dans une catégorie à part.

Pentamino	1er ajout	2e	3e	Solutions par rapport à un choix typique
11 X · nouveau	64,5 %	25,5 %	8,5 %	×0,08
12 W · nouveau	21,7 %	2,2 %	1,1 %	×0,54
8 Z	18,0 %	2,1 %	1,2 %	×0,54
10 F · nouveau	15,9 %	0,7 %	0,5 %	×0,92
9 T · nouveau	11,9 %	0,5 %	0,5 %	×0,77
4 N	10,1 %	0,5 %	0,3 %	×1,27
7 U	8,6 %	0,3 %	0,1 %	×1,36
5 V	5,8 %	0,2 %	0,2 %	×1,39
3 Y	3,3 %	0,0 %	0,0 %	×2,19
6 P	1,7 %	0,0 %	0,0 %	×4,49
2 L	0,8 %	0,0 %	0,0 %	×3,06
1 I · nouveau	0,0 %	0,0 %	0,0 %	×1,38

Les blocages peuvent maintenant arriver plus tard

Avec la boîte d’origine, toutes les impasses arrivaient au premier ajout. Avec les 12 pentaminos, 320 combinaisons de deux ajouts échouent alors que chaque ajout seul fonctionne, et 38 combinaisons de trois échouent alors que chaque étape plus courte fonctionne. Le X est en cause dans 75 % des échecs au deuxième ajout et 84 % au troisième (au premier : 3 214 ajouts en échec, dont 43 % avec le X).

L’effet de chaque nouvelle pièce sur les départs d’origine

Sur les 903 combinaisons d’origine qui ne se bloquent jamais aujourd’hui, combien deviennent bloquables si l’on ajoute seulement ce nouveau pentamino à la réserve.

Nouveau pentamino dans la réserve	Départs qui deviennent bloquables	Part
11 X	531	59 %
12 W	117	13 %
10 F	57	6 %
9 T	46	5 %
1 I	0	0 %

Le X casse des départs sans histoire

Quelques-unes des combinaisons d’origine qui ont le plus de solutions, chacune montrée par une solution, pour lesquelles ajouter ensuite le 11 (X) ne laisse aucune solution. Le centre du X doit avoir une case libre de chaque côté : sur un plateau de 5 de large, il ne peut se placer que dans les trois colonnes du milieu, et les cases qu’il isole dans les coins sont difficiles à remplir.

270 solutions en 4×52 4 B Y W V + 11 → aucune solution

123 solutions en 4×56 B D E W V + 11 → aucune solution

121 solutions en 4×52 4 A Y W V + 11 → aucune solution

109 solutions en 4×54 6 E X W V + 11 → aucune solution

90 solutions en 4×55 A B E W V + 11 → aucune solution

89 solutions en 4×56 8 A Y W V + 11 → aucune solution

77 solutions en 4×52 6 A X Y + 11 → aucune solution

73 solutions en 4×53 4 B Y W V + 11 → aucune solution

How the pieces are named

The labels on the pieces look arbitrary, but one generation order explains all of them: sort by the longest straight line in the piece, then move the extra cubes from the end of that line toward its middle.

Pentominoes: 2 to 8

Applied to all 12 pentominoes, the order puts the I bar first, then L and Y (a line of 4 with one cube walked inward), then the pieces built on a line of 3 with their extra cubes at an end (N, V, P as a domino; U, Z as two single cubes), then the three that use the middle of the line (T, F, X), and finally W, which has no straight line of 3.

The box keeps exactly one contiguous block of that order, numbers 2–8. The pieces left out sit at the two ends: 1, the I bar, which on a 5-wide board is just one more full row, and 9–12, the pieces that branch from the centre or have no straight run. Katamino, Gigamic’s pentomino-only game by the same authors, most likely uses the same numbering.

Tetrominoes: A to E

The same rule, counting forward with letters: A is the I (line of 4); B the L (line of 3, extra cube at the end); C the T (line of 3, extra cube in the middle); D the S (two dominoes offset) and E the O (two dominoes side by side). Offset before alongside matches the pentominoes, where N (4) comes before P (6).

Small pieces: Y down to V

Counted backward from the end of the alphabet: Y the I tromino, X the L tromino, W the domino, V the monomino. Straight before bent again, as with A before B.

This is a reconstruction from the pieces themselves, not something documented by the publisher. The boundaries (which pieces are missing) are the strongest evidence; the order inside the line-of-3 group is the least certain part.

D’où viennent les noms des pièces

Les étiquettes des pièces semblent arbitraires, mais un seul ordre de génération les explique toutes : trier selon la plus longue ligne droite de la pièce, puis déplacer les cubes supplémentaires du bout de cette ligne vers son milieu.

Pentaminos : de 2 à 8

Appliqué aux 12 pentaminos, cet ordre place d’abord la barre I, puis le L et le Y (une ligne de 4 dont un cube se déplace vers l’intérieur), puis les pièces construites sur une ligne de 3 avec leurs cubes supplémentaires à un bout (N, V, P en domino ; U, Z en deux cubes séparés), puis les trois qui utilisent le milieu de la ligne (T, F, X), et enfin le W, qui n’a pas de ligne droite de 3.

La boîte garde exactement un bloc continu de cet ordre, les numéros 2 à 8. Les pièces absentes se trouvent aux deux extrémités : le 1, la barre I, qui sur un plateau de 5 de large n’est qu’une rangée complète de plus, et les 9 à 12, les pièces qui partent du centre ou n’ont pas de ligne droite. Le Katamino, le jeu de Gigamic des mêmes auteurs qui n’utilise que des pentaminos, utilise très probablement la même numérotation.

Tétraminos : de A à E

La même règle, en comptant vers l’avant avec des lettres : A est le I (ligne de 4) ; B le L (ligne de 3, cube supplémentaire au bout) ; C le T (ligne de 3, cube supplémentaire au milieu) ; D le S (deux dominos décalés) et E le O (deux dominos côte à côte). Décalé avant côte à côte : comme pour les pentaminos, où le N (4) vient avant le P (6).

Petites pièces : de Y à V

Comptées à rebours depuis la fin de l’alphabet : Y le triomino I, X le triomino L, W le domino, V le monomino. Droit avant coudé, là encore, comme A avant B.

Il s’agit d’une reconstitution à partir des pièces, pas d’une information de l’éditeur. Les limites (quelles pièces manquent) sont l’indice le plus solide ; l’ordre à l’intérieur du groupe à ligne de 3 est la partie la moins sûre.

Method

Rules analysed

A starting set is any group of 5 or 6 different pieces whose area is 15 or 20, so it could fill a 3×5 or 4×5 rectangle. Once solved, the player adds a pentomino not already used and the rectangle grows by one row, up to three times (3×5 to 6×5, 4×5 to 7×5). Pieces may be rotated and turned over.

Counting solutions

The solver fills the first empty cell (row by row), trying every remaining piece in every orientation that covers it, so each tiling is reached exactly once. It abandons any position leaving an empty region whose size can’t be made from the remaining pieces. Solutions differing only by turning or mirroring the whole rectangle are counted once (four symmetries, eight for the 5×5 square).

Checking every game path

Whether a rectangle can be solved depends only on the pieces in it, not on the order they were added. So a starting set never locks when every set made by adding any 1, 2 or 3 of its unused pentominoes is solvable, which covers every ordered sequence of picks. Each distinct set of pieces is solved once and shared between all the paths that reach it: 7,877 sets for the box, 86,870 with the full 12 pentominoes.

Difficulty and the pair mode

The Play page ranks the never-locking starts of each rectangle size by solution count and splits them into four bands of about equal size. In two-player mode, the two sets share no piece except the doubled W and V, and the pentominoes left over form a shared pool for additions. Every set dealt is safe against any additions from that pool.

Assumptions

Piece shapes were read from a photo of the box. The “with printed 1, 9, 10, 12” option adds four of the five missing pentominoes and leaves out 11 (X), which locks most starting sets (see Full set).

Reproducing

make solver      # compiles solver/solver.cpp
make data        # recomputes data/results_box.json and results_full.json
make site        # builds build/index.html (this page)

The results files ship with the repository, so make site works on its own. Recomputing the full 12-pentomino data from scratch takes under an hour on one core; the cache in build/ lets an interrupted run resume.

Méthode

Règles analysées

Une combinaison de départ est un groupe de 5 ou 6 pièces différentes dont l’aire vaut 15 ou 20, de quoi remplir un rectangle de 3×5 ou 4×5. Une fois le rectangle résolu, le joueur ajoute un pentamino pas encore utilisé et le rectangle grandit d’une rangée, jusqu’à trois fois (de 3×5 à 6×5, de 4×5 à 7×5). Les pièces peuvent être tournées et retournées.

Compter les solutions

Le solveur remplit la première case vide (rangée par rangée) en essayant chaque pièce restante dans chaque orientation qui la couvre : chaque pavage est ainsi trouvé exactement une fois. Il abandonne toute position qui laisse une zone vide dont la taille ne peut pas être obtenue avec les pièces restantes. Les solutions qui ne diffèrent que par une rotation ou une symétrie du rectangle entier comptent pour une (quatre symétries, huit pour le carré 5×5).

Vérifier tous les déroulements

La résolubilité d’un rectangle ne dépend que des pièces qu’il contient, pas de l’ordre dans lequel elles ont été ajoutées. Une combinaison ne se bloque donc jamais si tout ensemble obtenu en ajoutant 1, 2 ou 3 de ses pentaminos inutilisés est soluble, ce qui couvre toutes les suites de choix possibles. Chaque ensemble de pièces distinct est résolu une seule fois et partagé entre tous les déroulements qui y mènent : 7 877 ensembles pour la boîte, 86 870 avec les 12 pentaminos.

Difficulté et mode à deux

La page Jouer classe les départs qui ne se bloquent jamais, pour chaque taille de rectangle, selon leur nombre de solutions, et les répartit en quatre tranches de taille à peu près égale. En mode deux joueurs, les deux combinaisons n’ont aucune pièce en commun sauf les W et V en double, et les pentaminos restants forment une réserve commune pour les ajouts. Chaque combinaison distribuée reste sûre quels que soient les ajouts tirés de cette réserve.

Hypothèses

Les formes des pièces ont été relevées sur une photo de la boîte. L’option « avec 1, 9, 10, 12 imprimés » ajoute quatre des cinq pentaminos manquants et laisse de côté le 11 (X), qui bloque la plupart des combinaisons (voir Jeu complet).

Reproduire les résultats

make solver      # compile solver/solver.cpp
make data        # recalcule data/results_box.json et results_full.json
make site        # construit build/index.html (cette page)

Les fichiers de résultats sont fournis avec le dépôt : make site fonctionne seul. Recalculer les données des 12 pentaminos depuis zéro prend moins d’une heure sur un cœur ; le cache dans build/ permet de reprendre un calcul interrompu.

In the start set ↓ / added first →	2	3	4	5	6	7	8
2	–	1%	3%	1%	0%	3%	7%
3	0%	–	5%	3%	1%	6%	9%
4	0%	3%	–	5%	1%	5%	15%
5	0%	3%	7%	–	2%	11%	9%
6	0%	1%	4%	1%	–	3%	5%
7	1%	3%	5%	6%	2%	–	18%
8	1%	4%	11%	5%	3%	14%	–
A	0%	4%	6%	5%	0%	7%	11%
B	1%	1%	3%	6%	0%	7%	9%
C	0%	3%	11%	9%	2%	10%	18%
D	0%	4%	9%	8%	1%	9%	19%
E	1%	3%	7%	7%	0%	16%	13%
X	0%	2%	5%	4%	0%	8%	10%
Y	0%	2%	6%	5%	0%	5%	13%
W	1%	1%	2%	3%	0%	6%	8%
V	0%	5%	10%	3%	4%	7%	12%

In the start set ↓ / added first →	2	3	4	5	6	7	8
2	–	1%	3%	1%	0%	3%	7%
3	0%	–	5%	3%	1%	6%	9%
4	0%	3%	–	5%	1%	5%	15%
5	0%	3%	7%	–	2%	11%	9%
6	0%	1%	4%	1%	–	3%	5%
7	1%	3%	5%	6%	2%	–	18%
8	1%	4%	11%	5%	3%	14%	–
A	0%	4%	6%	5%	0%	7%	11%
B	1%	1%	3%	6%	0%	7%	9%
C	0%	3%	11%	9%	2%	10%	18%
D	0%	4%	9%	8%	1%	9%	19%
E	1%	3%	7%	7%	0%	16%	13%
X	0%	2%	5%	4%	0%	8%	10%
Y	0%	2%	6%	5%	0%	5%	13%
W	1%	1%	2%	3%	0%	6%	8%
V	0%	5%	10%	3%	4%	7%	12%

In the start set ↓ / added first →	2	3	4	5	6	7	8
2	–	1%	3%	1%	0%	3%	7%
3	0%	–	5%	3%	1%	6%	9%
4	0%	3%	–	5%	1%	5%	15%
5	0%	3%	7%	–	2%	11%	9%
6	0%	1%	4%	1%	–	3%	5%
7	1%	3%	5%	6%	2%	–	18%
8	1%	4%	11%	5%	3%	14%	–
A	0%	4%	6%	5%	0%	7%	11%
B	1%	1%	3%	6%	0%	7%	9%
C	0%	3%	11%	9%	2%	10%	18%
D	0%	4%	9%	8%	1%	9%	19%
E	1%	3%	7%	7%	0%	16%	13%
X	0%	2%	5%	4%	0%	8%	10%
Y	0%	2%	6%	5%	0%	5%	13%
W	1%	1%	2%	3%	0%	6%	8%
V	0%	5%	10%	3%	4%	7%	12%